ডিজিটাল রুট

গণিত বিষয়টা আমার কাছে বেশ কাঠখোট্টা মনে হলেও এর মধ্যে এমন কিছু কিছু জিনিস আছে যার প্রেমে পরতে আপনি বাধ্য।এমন একটি জিনিস হচ্ছে “ডিজিটাল রুট”।(না ভাই,এর সাথে ডিজিটাল বাংলাদেশের কোন সম্পর্ক নাই। এখন প্রশ্ন হচ্ছে ডিজিটাল রুট কি? উদাহরণ দিলে মনে হয় ব্যাপারটা ভালো বুঝা যাবে।

মনে করুন আপনার কাছে একটি সংখ্যা আছে ৪৫৬৭

তাহলে ৪+৫+৬+৭=২২

আবার ২+২=৪

তাহলে ৪৫৬৭ এর ডিজিটাল রুট হচ্ছে ৪

তারমানে সোজা বাংলায় একটি সংখ্যার অংকগুলোকে বারবার যোগ করে যখন আমরা এক অংকের একটি সংখ্যা পাই সেই এক অংকের সংখ্যাটিই হলো প্রথম সংখ্যার ডিজিটাল রুট।

এখানে বলে রাখা ভালো “Additive Persistence” নামে একটি টার্ম ডিজিটাল রুটের সাথে যুক্ত।একটি সংখ্যার অংকগুলোকে যতবার যোগ করে এক অংকের সংখ্যায় রূপান্তর করা হয় তাকেই Additive Persistence বলে।যেমন উপরের সংখ্যাকে এক অংকে আনতে ২ বার যোগ করতে হয়েছে,সুতরাং ৪৫৬৭ এর Additive Persistence হচ্ছে ২।

ডিজিটাল রুট বের করার আরো পদ্ধতি আছে,যেমন ধরুন ১৯৪৬২৭৮৫ সংখ্যাটির ডিজিটাল রুট বের করতে হবে।

এখন এই সংখ্যা থেকে আমরা যতভাবে ৯ পেতে পারি সেগুলো বাদ দিয়ে যা থাকবে তাই আমাদের ডিজিটাল রুট।মনে হয় ব্যাপারটা ব্যাখ্যা করলে ভালো হবে।

১৯৪৬২৭৮৫ এ ৯ আছে একটি,৪+৫=৯,৭+২=৯,৮+১=৯।

তাহলে সংখ্যাটি থেকে ৯,৪,৫,৭,২,৮,১ বাদ দিলে থাকে শুধু ৬।এই ৬ ই হলো সংখ্যাটির ডিজিটাল রুট।

কি?সন্দেহ হচ্ছে?তাহলে সাধারণ পদ্ধতিতে ১৯৪৬২৭৮৫ এর ডিজিটাল রুট বের করেই দেখুন না J

(এখানে দেখুন ৬+২+১=৯ যোগ করলেও কিন্তু ৯ হয় :p ।তাহলে এইগুলো বাদ দিয়ে বাকিগুলো যোগ করতে থাকুন,পেয়ে যাবেন।)

*মনে রাখবেন,এভাবে বাদ দিতে দিতে যদি আর কিছু অবশিষ্ট না থাকে তাহলে ডিজিটাল রুট হবে ৯

এত কষ্ট করতে না চাইলে ডিজিটাল রুট বের করার একটি ফর্মুলাই আছে(হুদাই কে যায় এত গ্যাঞ্জাম করতে :p )

উপরের ছবির ফর্মুলাটিই হচ্ছে আমাদের সেই ফর্মুলা।

যেখানে dr(n) হচ্ছে n সংখ্যাটির ডিজিটাল রুট।(লক্ষ্য করুন,এখানে কিন্তু “Floor Function” ব্যবহার করা হয়েছে।Floor Function এর Floor হচ্ছে কোন একটি সংখ্যাকে আরেকটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যদি ভগ্নাংশ হয় তবে প্রাপ্ত সংখ্যাটির ঠিক ছোট পূর্ণসংখ্যাটি।যেমন ৫/২=২.৫,তাহলে ২ হচ্ছে সেই Floor।)

আচ্ছা ডিজিটাল রুট কি তাতো জানলাম,কিভাবে বের করতে হয় তাও জানলাম।এবার আসুন এটা নিয়ে মজার কোন খেলা খেলা যায় কিনা তা দেখি।

মনে করুন আপনাকে কেউ ২৯০৪৫৭৮৫৬৩ সংখ্যা দিয়ে বলল এটকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে।আপনি পরলেন ভীষণ ঝামেলায়,আপনার কাছে যে কোন ক্যালকুলেটর নেই,আর হাতে করতে গেলেও বেশ সময় লাগবে।

কুছ পরোয়া নেহি।সংখ্যাটির ডিজিটাল রুট বের করে ফেলুন,সেটাই ৯ দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যাটির ভাগশেষ।করে দেখুন।

এবার দেখে নেই ডিজিটাল রুটের কিছু বৈশিষ্ট্য:

১)শুধু এবং শুধুমাত্র ০ এর ডিজিটাল রুট হচ্ছে ০।

২)০-৯ অংকগুলোর ডিজিটাল রুট হচ্ছে তারা নিজেরাই।

৩)৬! এর সমান বা তার চেয়ে বড় ফ্যাক্টরিয়াল গুলোর ডিজিটাল রুট হচ্ছে ৯।

৪)কোন Perfect Cube এর ডিজিটাল রুট ১,৮ বা ৯ এবং তারা এই সিকোয়েন্সেই চলতে থাকবে।

(এই সিকোয়েন্সে চলতে থাকবে মানে পর পর তিনটি পূর্ণসংখ্যার কিউবের ডিজিটাল রুট যথাক্রমে ১,৮,৯,১,৮,৯,১……এই ক্রমে চলবে।)

৫)৩ বাদে বাকিসব মৌলিক সংখ্যার ডিজিটাল রুট হবে ১,২,৪,৫,৭ বা ৮।

৬)২ এর যেকোন ঘাতের ডিজিটাল রুট হবে ১,২,৪,৫,৭ বা ৮ আর সিকোয়েন্স হবে ১,২,৪,৮,৭,৫।এমনকি ২ এর ঋণাত্মক ঘাতের ক্ষেত্রেও এটা প্রযোজ্য।

৭)৫ এর কোন ঘাতের ডিজিটাল রুট হবে ১,২,৪,৫,৭ বা ৮ এবং সিকোয়েন্স হবে ১,৫,৭,৮,৪,২।এটা ৫ এর ঋণাত্মক ঘাতের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

৮)কোন জোড় Perfect Number( ৬ বাদে) এর ডিজিটাল রুট হচ্ছে ১।

৯)কোন Star Number এর ডিজিটাল রুট হচ্ছে ১ বা ৪ এবং সিকোয়েন্স হচ্ছে ১,৪,১।

১০)কোন Triangle Number এর ডিজিটাল রুট হচ্ছে ১,৩,৬ বা ৯ এবং সিকোয়েন্স হচ্ছে ১,৩,৬,১,৬,৩,১,৯,৯

১১)ফিবোনাক্কি সংখ্যাগুলোর ডিজিটাল রুট ১,১,২,৩,৪,৮,৪,৩,৭,১,৮,৯,৮,৮,৭,৬,৪,১,৫,৬,২,৮,১,৯ প্যাটার্নে ঘোরে।

১২)লুকাস সংখ্যাগুলোর ডিজিটাল রুট ২,১,৩,৪,৭,২,৯,২,২,৪,৬,১,৭,৮,৬,৫,২,৭,৯,৭,৭,৫,৩,৮ প্যাটার্নে ঘোরে।

১৩)৩ এবং ৫ বাদে অন্যান্য Twin Prime গুলোর গুণফলের ডিজিটাল রুট হচ্ছে ৮।৩ এবং ৫(Twin Prime) এর গুণফলের ডিজিটাল রুট হচ্ছে ৬।

ডিজিটাল রুট সম্পর্কে আরো জানতে অন্তর্জাল(ইন্টারনেট তো) আছেই। J

আজ তাহলে এই পর্যন্তই থাক।লেখাটা অনেক বড় হয়ে গেল,সেজন্য দুঃখিত।আগামীতে ইনশাআল্লাহ আবার দেখা হবে।আল্লাহ হাফেয।

তথ্যসূত্র :Wikipedia,মাসিক কম্পিউটার জগৎ।