লগারিদমের ভিত্তি e হল কেন?

আমরা সবাই মোটামুটি ১০ ভিত্তিক লগারিদমের সাথে পরিচিত। ভিত্তি হিসাবে ১০ কে আমাদের কাছে স্বাভাবিক মনে হয়, কারণ আমরা ১০ ভিত্তিক গণনায় অভ্যস্ত। তাই আমরা একটু অবাক হই লগের ভিত্তি হিসেবে e (এটি একটি অমূলদ সংখ্যা যার মান ২.৭১৮২৮১৮২৮৪…...) কে দেখে আর আমাদের মনে প্রশ্ন জাগে এই e আসলো কোথা থেকে আর কেনইবা গণিতবিদদের কাছে এই e কে ১০ এর চেয়েও বেশি ভাল মনে হয় ?

লগারিদম এর লেখচিত্র

যদি আমরা ১০ ভিত্তিক লগ অর্থাৎ y=log_১০ (x) এর লেখ আঁকি এবং অত্যন্ত সতর্কতার সাথে (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল হিসাব করি তবে আমরা পাই ০.৪৩৪। ঢাল হল, কোন সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণের tangent যেমন, উৎপন্ন কোণ ৩০ ডিগ্রী হলে ঢাল হবে tan৩০ডিগ্রী বা, ১.৭৩২

২ ভিত্তিক লগের জন্য সেই মান হয় ১.৪৪… এবং ৩ ভিত্তিক লগের জন্য হয় ০.৯১…, অর্থাৎ, ২ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে বেশি আর ৩ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে কম। আমরা সবাই গণিতের সৌন্দর্যে মোহিত হই, সরলতায় আগ্রহী হই তাই স্বভাবতই আমাদের মনে প্রশ্ন জাগে, এমন কোন ভিত্তি কি নেই যা ২ ও ৩ এর মধ্যবর্তী এবং যার জন্য সেই মান বরাবর ১ হবে ? উত্তর হ্যাঁ, আছে। আর সেই মানই হল e । e ভিত্তিক লগ অর্থাৎ, y=log_e (x) এর জন্য (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল হবে ১। আর তাই ভিত্তি হিসেবে e ব্যাবহার করলে বিষয়টি অনেক সহজ হয়।

ক্যালকুলাসের অন্তরীকরণ থেকে আমরা জানি  log_e(x) এর অন্তরক সহগ হল ১/x কিন্তু ভিত্তি যদি e না হয়ে অন্য কোন সংখ্যা যেমন a হয় তখন log_a(x) এর অন্তরক সহগ হয় (১/x)log_a(e) অর্থাৎ,১/x এর সাথে ১ ভিন্ন অন্য একটি সংখ্যা গুণ আকারে চলে আসে। যেমন  log_২(x) এর অন্তরক সহগ (১.৪৪…)/x । আর তখন ঢাল ১ না হয়ে ১.৪৪ হয়, e ভিত্তিক লগের জন্য যা ১, কারণ কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে অন্তরক সহগের মানই ওই বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল। এ কারনে লগের ভিত্তি হিসেবে e এর ব্যাবহার এতো স্বাভাবিক।

আমরা খুব সহজে e এর মান নিচের ধারা থেকে নির্ণয় করতে পারিঃ-

e = ১ + ১/১! + ১/২! + ১/৩! + ১/৪! + …

যেখানে, ৪! মানে ১.২.৩.৪=২৪